गणित · मुफ़्त अभ्यास

JEE Main निर्देशांक ज्यामिति और सदिश: अभ्यास प्रश्न हल सहित

12 प्रश्न। पहले खुद हल करें, फिर हल देखें।

सुझाव: हल देखने से पहले कागज़ पर प्रश्न हल करें। हल खोलने पर वह प्रश्न अभ्यास किया हुआ माना जाएगा और आपके HeyGyan टेस्ट में दोबारा नहीं आएगा।
अतिपरवलयमध्यम

प्रश्न 1. किसी अतिपरवलय की नाभिलंब जीवा उसके अनुप्रस्थ अक्ष की आधी है। उसकी उत्केंद्रता क्या है?

  1. √(3/2)
  2. √2
  3. 3/2
  4. √3
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (A) √(3/2)

हलनाभिलंब जीवा = 2b²/a और अनुप्रस्थ अक्ष = 2a। 2b²/a = a से b² = a²/2। e = √(1 + b²/a²) = √(3/2)।
आम गलतीनाभिलंब जीवा को पूरे अनुप्रस्थ अक्ष के बराबर रखने पर √2 आता है।
वृत्तआसानसंख्यात्मक

प्रश्न 2. बिंदु (5, 1) से वृत्त x² + y² − 4x + 2y − 4 = 0 पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई क्या है?

संख्यात्मक प्रश्न: उत्तर लिखना है, कोई विकल्प नहीं।

उत्तर और हल देखें

उत्तर: 2

हललंबाई = √S₁, जहाँ S₁ बिंदु पर वृत्त का व्यंजक है: 25 + 1 − 20 + 2 − 4 = 4। लंबाई = √4 = 2।
आम गलतीवर्गमूल लिए बिना S₁ = 4 उत्तर देना।
त्रिविमीय ज्यामितिमध्यम

प्रश्न 3. समांतर समतलों 2x + y + 2z = 8 और 4x + 2y + 4z + 5 = 0 के बीच की दूरी क्या है?

  1. 3/2
  2. 5/2
  3. 7/2
  4. 13/3
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (C) 7/2

हलगुणांक बराबर करें: दूसरा समतल 2x + y + 2z + 5/2 = 0 है। दूरी = |−8 − 5/2| / √(4 + 1 + 4) = (21/2)/3 = 7/2।
आम गलतीपहले गुणांक बराबर किए बिना सूत्र लगाना।
परवलयमध्यम

प्रश्न 4. परवलय y² = 12x के कौन-से बिंदु उसकी नाभि से 6 की दूरी पर हैं?

  1. (3, ±6)
  2. (6, ±6√2)
  3. (3, ±3)
  4. (9, ±6√3)
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (A) (3, ±6)

हलयहाँ a = 3। बिंदु (x, y) की नाभीय दूरी x + a होती है, अतः x + 3 = 6 से x = 3 और y² = 36, y = ±6।
आम गलतीनाभि की जगह शीर्ष से दूरी मापना।
सरल रेखाएँआसान

प्रश्न 5. रेखाओं y = x, y = −x और y = 4 से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?

  1. 8
  2. 12
  3. 16
  4. 32
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (C) 16

हलशीर्ष (0, 0), (4, 4) और (−4, 4) हैं। आधार = 8 (y = 4 पर), ऊँचाई = 4। क्षेत्रफल = ½ × 8 × 4 = 16।
आम गलतीy-अक्ष के केवल एक ओर का भाग लेकर आधार 4 मानना।
सदिशमध्यमसंख्यात्मक

प्रश्न 6. कोरों a = î + ĵ, b = ĵ + k̂ और c = k̂ + î वाले समांतर षट्फलक का आयतन क्या है?

संख्यात्मक प्रश्न: उत्तर लिखना है, कोई विकल्प नहीं।

उत्तर और हल देखें

उत्तर: 2

हलआयतन = |[a b c]| = |det[[1,1,0],[0,1,1],[1,0,1]]| = |1(1 − 0) − 1(0 − 1) + 0| = 2।
आम गलती6 से भाग देने पर चतुष्फलक का आयतन आता है, समांतर षट्फलक का नहीं।
त्रिविमीय ज्यामितिमध्यम

प्रश्न 7. मूल बिंदु से समतल 2x + y + 2z = 9 पर डाले गए लंब का पाद क्या है?

  1. (2, 1, 2)
  2. (1, 2, 2)
  3. (4, 2, 4)
  4. (2, 2, 1)
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (A) (2, 1, 2)

हलपाद अभिलंब की दिशा में है: (2t, t, 2t)। प्रतिस्थापित करने पर 4t + t + 4t = 9, अतः t = 1। पाद = (2, 1, 2)।
आम गलती(4, 2, 4) केवल अभिलंब सदिश को दोगुना करता है, यह जाँचे बिना कि बिंदु समतल पर है या नहीं।
वृत्तआसान

प्रश्न 8. वृत्त x² + y² − 6x + 8y = 0 का केंद्र और त्रिज्या क्या है?

  1. (3, −4), 5
  2. (−3, 4), 5
  3. (3, −4), 25
  4. (6, −8), 10
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (A) (3, −4), 5

हलx² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 से तुलना: g = −3, f = 4, c = 0। केंद्र (−g, −f) = (3, −4)। त्रिज्या = √(9 + 16 − 0) = 5।
आम गलतीकेंद्र को (g, f) लेने से चिह्न उलट जाते हैं।
दीर्घवृत्तमध्यम

प्रश्न 9. दीर्घवृत्त 9x² + 16y² = 144 की नाभियों के बीच की दूरी क्या है?

  1. √7
  2. 2√7
  3. 8
  4. 10
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (B) 2√7

हल144 से भाग देने पर: x²/16 + y²/9 = 1, अतः a = 4 और b = 3। c = √(a² − b²) = √7। नाभियों के बीच दूरी = 2c = 2√7।
आम गलती2c की जगह c (√7) उत्तर देना।
सदिशआसान

प्रश्न 10. सदिशों a = î + ĵ और b = ĵ + k̂ के बीच का कोण क्या है?

  1. 30°
  2. 45°
  3. 60°
  4. 90°
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (C) 60°

हलa · b = 0 + 1 + 0 = 1, और |a| = |b| = √2। cos θ = 1/(√2 × √2) = 1/2, अतः θ = 60°।
आम गलतीकेवल एक घटक साझा होने के कारण उन्हें लंबवत मान लेना।
सरल रेखाएँआसान

प्रश्न 11. रेखाओं y = x और y = √3 x के बीच न्यून कोण क्या है?

  1. 15°
  2. 30°
  3. 45°
  4. 60°
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (A) 15°

हलरेखाएँ x-अक्ष से 45° और 60° के कोण बनाती हैं, अतः उनके बीच का कोण 60° − 45° = 15° है।
आम गलतीढाल √3 को रेखाओं के बीच का कोण पढ़कर 60° उत्तर देना।
सदिशआसानसंख्यात्मक

प्रश्न 12. सदिश a = 2î − ĵ + 3k̂ और b = î + λĵ − k̂ परस्पर लंबवत हैं। λ क्या है?

संख्यात्मक प्रश्न: उत्तर लिखना है, कोई विकल्प नहीं।

उत्तर और हल देखें

उत्तर: -1

हललंबवत सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होता है: 2(1) + (−1)(λ) + 3(−1) = 0, अतः 2 − λ − 3 = 0 और λ = −1।
आम गलतीचिह्न की गलती: −1 × λ = −λ होता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

इस पेज पर निर्देशांक ज्यामिति और सदिश के कौन-से अध्याय हैं?

इस पेज पर अतिपरवलय, त्रिविमीय ज्यामिति, दीर्घवृत्त, परवलय, वृत्त, सदिश, सरल रेखाएँ के प्रश्न हैं। प्रश्न JEE Main पैटर्न पर हैं, जिनमें बहुविकल्पीय और संख्यात्मक दोनों प्रकार हैं।

क्या ये JEE के पिछले वर्षों के प्रश्न हैं?

नहीं। ये नवीनतम पैटर्न पर लिखे गए मौलिक JEE Main स्तर के अभ्यास प्रश्न हैं, हर प्रश्न के हल और आम गलती के साथ।