गणित · मुफ़्त अभ्यास

JEE Main कलन: अभ्यास प्रश्न हल सहित

15 प्रश्न। पहले खुद हल करें, फिर हल देखें।

सुझाव: हल देखने से पहले कागज़ पर प्रश्न हल करें। हल खोलने पर वह प्रश्न अभ्यास किया हुआ माना जाएगा और आपके HeyGyan टेस्ट में दोबारा नहीं आएगा।
सीमाआसान

प्रश्न 1. lim(x→0) (1 − cos 2x) / (x tan x) का मान क्या है?

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 4
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (C) 2

हल1 − cos 2x = 2sin²x। अतः व्यंजक 2 · (sin x/x) · (sin x/tan x) है और दोनों अनुपात 1 की ओर जाते हैं। सीमा 2 है।
आम गलती1 − cos 2x ≈ 2x² की जगह x² लेना।
सांतत्य और अवकलनीयताकठिनसंख्यात्मक

प्रश्न 2. f(x) = |x² − 3x + 2| + |x − 3| कितने बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है?

संख्यात्मक प्रश्न: उत्तर लिखना है, कोई विकल्प नहीं।

उत्तर और हल देखें

उत्तर: 3

हलहर मापांक वहाँ कोना बनाता है जहाँ उसके भीतर का व्यंजक शून्येतर ढाल से शून्य को पार करता है। x² − 3x + 2 = 0, x = 1 और 2 पर; x − 3 = 0, x = 3 पर। कोई कोना निरस्त नहीं होता, अतः 3 बिंदु हैं।
आम गलतीकेवल द्विघात के मूल गिनना।
निश्चित समाकलनमध्यम

प्रश्न 3. ∫₀^(π/2) sin x / (sin x + cos x) dx का मान क्या है?

  1. π/2
  2. π/4
  3. 1
  4. 0
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (B) π/4

हलx की जगह π/2 − x रखने पर समाकल्य cos x/(cos x + sin x) बन जाता है। दोनों रूप जोड़ने पर 2I = ∫₀^(π/2) 1 dx = π/2, अतः I = π/4।
आम गलतीसीधा प्रतिस्थापन करना, जो उलझ जाता है।
वक्रों के अंतर्गत क्षेत्रफलआसान

प्रश्न 4. y = x² और y = x से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

  1. 1/2
  2. 1/3
  3. 1/6
  4. 1/12
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (C) 1/6

हलवक्र x = 0 और 1 पर मिलते हैं, और y = x ऊपर है। क्षेत्रफल = ∫₀¹ (x − x²) dx = 1/2 − 1/3 = 1/6।
आम गलतीकेवल एक वक्र का समाकलन करना।
अवकल समीकरणमध्यम

प्रश्न 5. यदि dy/dx + y/x = x और y(1) = 1, तो y(2) क्या है?

  1. 4/3
  2. 5/3
  3. 2
  4. 7/3
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (B) 5/3

हलसमाकलन गुणक = x, अतः d(xy)/dx = x², जिससे xy = x³/3 + C। y(1) = 1 से C = 2/3। x = 2 पर: 2y = 8/3 + 2/3 = 10/3, अतः y = 5/3।
आम गलतीअंत में x से भाग देना भूल जाना।
अवकलज के अनुप्रयोगमध्यम

प्रश्न 6. त्रिज्या r के अर्धवृत्त में, व्यास पर एक भुजा रखकर बनाए गए आयत का अधिकतम क्षेत्रफल क्या है?

  1. r²/2
  2. r²
  3. 2r²
  4. πr²/4
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (B) r²

हलआधार 2x और ऊँचाई √(r² − x²) से क्षेत्रफल A = 2x√(r² − x²)। यह x = r/√2 पर अधिकतम है, जिससे A = 2 × (r/√2) × (r/√2) = r²।
आम गलतीअर्धवृत्त के लिए पूरे वृत्त का परिणाम (2r²) लगाना।
अनिश्चित समाकलनकठिन

प्रश्न 7. ∫ dx / (x(xⁿ + 1)) क्या है?

  1. (1/n) ln|xⁿ/(xⁿ + 1)| + C
  2. ln|xⁿ/(xⁿ + 1)| + C
  3. (1/n) ln|(xⁿ + 1)/xⁿ| + C
  4. n ln|xⁿ/(xⁿ + 1)| + C
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (A) (1/n) ln|xⁿ/(xⁿ + 1)| + C

हलअंश और हर को xⁿ⁻¹ से गुणा करें और t = xⁿ रखें (dt = n xⁿ⁻¹ dx)। समाकल (1/n)∫ dt/(t(t + 1)) = (1/n) ln|t/(t + 1)| + C बन जाता है।
आम गलतीप्रतिस्थापन से आने वाला 1/n छूट जाना।
सीमामध्यम

प्रश्न 8. lim(x→∞) (1 + 2/x)³ˣ क्या है?

  1. e²
  2. e³
  3. e⁶
  4. e^(2/3)
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (C) e⁶

हल1^∞ रूप में सीमा e^((आधार − 1) × घातांक की सीमा) = e^((2/x)(3x)) = e⁶ होती है।
आम गलतीआधार 1 की ओर जाता है, इसलिए 1 उत्तर देना। घातांक भी साथ-साथ बढ़ता है।
सीमामध्यम

प्रश्न 9. lim(x→0) (eˣ − 1 − x)/x² का मान क्या है?

  1. 0
  2. 1/2
  3. 1
  4. 2
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (B) 1/2

हलeˣ = 1 + x + x²/2 + … अतः eˣ − 1 − x ≈ x²/2, और सीमा 1/2 है।
आम गलतीप्रसार को x पद पर रोकने से फिर 0/0 आता है।
अवकलनमध्यम

प्रश्न 10. |x| < 1 के लिए, यदि y = sin⁻¹(2x/(1 + x²)), तो dy/dx क्या है?

  1. 2/(1 + x²)
  2. 1/(1 + x²)
  3. −2/(1 + x²)
  4. 2/√(1 − x²)
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (A) 2/(1 + x²)

हलx = tan θ रखें। तब 2x/(1 + x²) = sin 2θ, और |x| < 1 के लिए y = 2θ = 2 tan⁻¹x। अतः dy/dx = 2/(1 + x²)।
आम गलतीसीधे शृंखला नियम से अवकलन लंबा और गलती-प्रवण है।
निश्चित समाकलनमध्यम

प्रश्न 11. ∫₀^π x sin x dx का मान क्या है?

  1. 0
  2. 2
  3. π/2
  4. π
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (D) π

हलखंडशः समाकलन: ∫x sin x dx = −x cos x + sin x। 0 से π तक: (π + 0) − (0 + 0) = π।
आम गलतीx को स्थिरांक मानकर केवल sin x का समाकलन करने पर 2 आता है।
अवकलज के अनुप्रयोगआसान

प्रश्न 12. f(x) = x³ − 3x का स्थानीय उच्चतम मान क्या है?

  1. −2
  2. 0
  3. 1
  4. 2
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (D) 2

हलf′(x) = 3x² − 3 = 0, x = ±1 पर। f″(−1) = −6 < 0, अतः x = −1 पर स्थानीय उच्चतम: f(−1) = −1 + 3 = 2।
आम गलतीमान (2) की जगह बिंदु (x = −1) देना, या x = 1 लेना, जो स्थानीय निम्नतम है।
सांतत्य और अवकलनीयताआसान

प्रश्न 13. x ≠ 0 के लिए f(x) = (sin 2x)/x, और f(0) = k। k के किस मान के लिए f, x = 0 पर संतत है?

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 1/2
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (C) 2

हलlim(x→0) sin 2x/x = 2 × lim sin 2x/(2x) = 2। सांतत्य के लिए k इस सीमा के बराबर होना चाहिए: k = 2।
आम गलतीगुणक 2 के बिना सीधे lim sin x/x = 1 लगाना।
अनिश्चित समाकलनमध्यम

प्रश्न 14. ∫ eˣ (sin x + cos x) dx क्या है?

  1. eˣ cos x + C
  2. eˣ sin x + C
  3. −eˣ sin x + C
  4. eˣ (sin x − cos x) + C
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (B) eˣ sin x + C

हल∫ eˣ (f(x) + f′(x)) dx = eˣ f(x) + C लगाएँ। f(x) = sin x, f′(x) = cos x, अतः उत्तर eˣ sin x + C है।
आम गलतीf(x) = cos x चुनना, जिसका अवकलज −sin x है, +sin x नहीं।
अवकल समीकरणआसान

प्रश्न 15. अवकल समीकरण (d²y/dx²)³ + (dy/dx)² + y = 0 की कोटि और घात क्या हैं?

  1. कोटि 2, घात 3
  2. कोटि 3, घात 2
  3. कोटि 2, घात 2
  4. कोटि 1, घात 3
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (A) कोटि 2, घात 3

हलकोटि उपस्थित उच्चतम अवकलज है: d²y/dx², अतः कोटि 2। घात उस उच्चतम अवकलज की घात है (जब समीकरण अवकलजों में बहुपद हो): 3।
आम गलतीकोटि और घात को आपस में बदल देना।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

इस पेज पर कलन के कौन-से अध्याय हैं?

इस पेज पर अनिश्चित समाकलन, अवकल समीकरण, अवकलज के अनुप्रयोग, अवकलन, निश्चित समाकलन, वक्रों के अंतर्गत क्षेत्रफल, सांतत्य और अवकलनीयता, सीमा के प्रश्न हैं। प्रश्न JEE Main पैटर्न पर हैं, जिनमें बहुविकल्पीय और संख्यात्मक दोनों प्रकार हैं।

क्या ये JEE के पिछले वर्षों के प्रश्न हैं?

नहीं। ये नवीनतम पैटर्न पर लिखे गए मौलिक JEE Main स्तर के अभ्यास प्रश्न हैं, हर प्रश्न के हल और आम गलती के साथ।