गणित · मुफ़्त अभ्यास

JEE Main बीजगणित: अभ्यास प्रश्न हल सहित

24 प्रश्न। पहले खुद हल करें, फिर हल देखें।

सुझाव: हल देखने से पहले कागज़ पर प्रश्न हल करें। हल खोलने पर वह प्रश्न अभ्यास किया हुआ माना जाएगा और आपके HeyGyan टेस्ट में दोबारा नहीं आएगा।
सम्मिश्र संख्याएँकठिन

प्रश्न 1. यदि α और β, x² − x + 1 = 0 के मूल हैं, तो α²⁰²⁶ + β²⁰²⁶ क्या है?

  1. −1
  2. 1
  3. 2
  4. −2
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (A) −1

हलमूल −ω और −ω² हैं, जहाँ ω इकाई का घनमूल है। 2026 सम है, अतः योग ω²⁰²⁶ + ω⁴⁰⁵² है। 2026 ≡ 1 (mod 3), अतः यह ω + ω² = −1 है।
आम गलतीमूलों को ω और ω² मानना (वे x² + x + 1 = 0 के मूल हैं)।
सम्मिश्र संख्याएँमध्यम

प्रश्न 2. यदि |z| = 1 और z ≠ −1, तो (z − 1)/(z + 1) हमेशा होता है:

  1. शुद्ध वास्तविक
  2. शुद्ध काल्पनिक (या शून्य)
  3. मापांक 1 वाला
  4. z के बराबर
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (B) शुद्ध काल्पनिक (या शून्य)

हलमान लें z = e^(iθ)। तब (z − 1)/(z + 1) = i·tan(θ/2), जिसका कोई वास्तविक भाग नहीं है।
आम गलती|z| = 1 होने से मापांक 1 मान लेना।
अनुक्रम और श्रेणीमध्यम

प्रश्न 3. अनंत श्रेणी 1 + 2/3 + 3/9 + 4/27 + … का योग क्या है?

  1. 3/2
  2. 2
  3. 9/4
  4. 3
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (C) 9/4

हलयह समांतर-गुणोत्तर श्रेणी Σ n·xⁿ⁻¹ है, जहाँ x = 1/3। इसका योग 1/(1 − x)² = 1/(2/3)² = 9/4 है।
आम गलती3/2 इसे साधारण गुणोत्तर श्रेणी मानकर आता है।
द्विपद प्रमेयमध्यमसंख्यात्मक

प्रश्न 4. (x² − 1/x)⁹ के प्रसार में x से स्वतंत्र पद क्या है?

संख्यात्मक प्रश्न: उत्तर लिखना है, कोई विकल्प नहीं।

उत्तर और हल देखें

उत्तर: 84

हलव्यापक पद: ⁹Cᵣ (x²)⁹⁻ʳ (−1/x)ʳ, x की घात = 18 − 3r। इसे 0 रखने पर r = 6। पद = ⁹C₆ (−1)⁶ = 84।
आम गलतीचिह्न की गलती: (−1)⁶ धनात्मक है।
क्रमचय और संचयमध्यमसंख्यात्मक

प्रश्न 5. 0 से 9 तक के भिन्न अंकों से 5000 से बड़ी कितनी 4-अंकीय संख्याएँ बन सकती हैं?

संख्यात्मक प्रश्न: उत्तर लिखना है, कोई विकल्प नहीं।

उत्तर और हल देखें

उत्तर: 2520

हलपहला अंक 5, 6, 7, 8 या 9 होना चाहिए (5 तरीके)। शेष तीन स्थानों पर बचे 9 अंकों में से कोई भी भिन्न अंक: 9 × 8 × 7 = 504। कुल = 5 × 504 = 2520।
आम गलतीबाद के स्थानों पर 0 को छोड़ देना।
प्रायिकतामध्यम

प्रश्न 6. दो निष्पक्ष पासे फेंके जाते हैं। यह दिया है कि कम से कम एक पासे पर 3 है, तो योग 7 होने की प्रायिकता क्या है?

  1. 1/6
  2. 2/11
  3. 1/18
  4. 1/3
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (B) 2/11

हलकम से कम एक 3 वाले परिणाम: 11। इनमें से योग 7 वाले (3,4) और (4,3) हैं, यानी 2 परिणाम। P = 2/11।
आम गलती(3,3) को दो बार गिनकर 12 परिणाम मानना।
आव्यूह और सारणिककठिनसंख्यात्मक

प्रश्न 7. A एक 3 × 3 आव्यूह है जिसके लिए |A| = 4। |adj(2A)| क्या है?

संख्यात्मक प्रश्न: उत्तर लिखना है, कोई विकल्प नहीं।

उत्तर और हल देखें

उत्तर: 1024

हलn × n आव्यूह के लिए |adj M| = |M|ⁿ⁻¹। यहाँ |2A| = 2³ × 4 = 32, अतः |adj(2A)| = 32² = 1024।
आम गलती|2A| = 2 × 4 = 8 लिखना। गुणक 2 हर पंक्ति को गुणा करता है, जिससे 2³ आता है।
द्विघात समीकरणमध्यमसंख्यात्मक

प्रश्न 8. x² − kx + 8 = 0 का एक मूल दूसरे का वर्ग है, और k वास्तविक है। k क्या है?

संख्यात्मक प्रश्न: उत्तर लिखना है, कोई विकल्प नहीं।

उत्तर और हल देखें

उत्तर: 6

हलमूल α और α² मानें। गुणनफल: α³ = 8, अतः α = 2 (वास्तविक घनमूल, क्योंकि k वास्तविक है)। तब k = α + α² = 2 + 4 = 6।
आम गलतीगुणनफल को α · α² = α³ की जगह α² लिखना।
अनुक्रम और श्रेणीमध्यम

प्रश्न 9. किसी समांतर श्रेढ़ी में 5वें और 16वें पदों का योग 30 है। प्रथम 20 पदों का योग क्या है?

  1. 150
  2. 300
  3. 310
  4. 600
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (B) 300

हलसमांतर श्रेढ़ी में सिरों से समान दूरी वाले पदों का योग बराबर होता है: a₁ + a₂₀ = a₅ + a₁₆ = 30। S₂₀ = (20/2)(a₁ + a₂₀) = 10 × 30 = 300।
आम गलतीa और d को अलग-अलग निकालने की कोशिश करना, जो यहाँ न संभव है न आवश्यक।
द्विपद प्रमेयकठिनसंख्यात्मक

प्रश्न 10. 7¹⁰³ को 25 से भाग देने पर शेषफल क्या है?

संख्यात्मक प्रश्न: उत्तर लिखना है, कोई विकल्प नहीं।

उत्तर और हल देखें

उत्तर: 18

हल7² = 49 = 50 − 1, अतः 7² ≡ −1 (mod 25) और 7⁴ ≡ 1। चूँकि 103 = 4 × 25 + 3, 7¹⁰³ ≡ 7³ = 343 = 13 × 25 + 18। शेषफल = 18।
आम गलती7³ ≡ 343 पर रुक जाना और उसे mod 25 में न घटाना।
प्रायिकतामध्यम

प्रश्न 11. थैले A में 3 लाल और 2 काली गेंदें हैं; थैले B में 2 लाल और 3 काली। यादृच्छया एक थैला चुनकर उसमें से निकाली गई गेंद लाल है। इसके थैले A से होने की प्रायिकता क्या है?

  1. 1/2
  2. 3/5
  3. 2/5
  4. 3/10
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (B) 3/5

हलबेज़ प्रमेय: P(A | लाल) = (½ × 3/5) / (½ × 3/5 + ½ × 2/5) = 3/5।
आम गलती3/10, P(A और लाल) है, P(लाल दिए होने पर A) नहीं।
आव्यूह और सारणिकमध्यम

प्रश्न 12. A एक वर्ग आव्यूह है जिसके लिए A² = A। (I + A)³ क्या है?

  1. I + 3A
  2. I + 6A
  3. I + 7A
  4. I + 8A
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (C) I + 7A

हलचूँकि A² = A, A की हर घात A के बराबर है। (I + A)³ = I + 3A + 3A² + A³ = I + 3A + 3A + A = I + 7A।
आम गलती(I + A)³ = I + A³ लिखने से बीच के पद छूट जाते हैं।
समुच्चय और संबंधमध्यमसंख्यात्मक

प्रश्न 13. 3 अवयवों वाले समुच्चय पर कितने स्वतुल्य संबंध हैं?

संख्यात्मक प्रश्न: उत्तर लिखना है, कोई विकल्प नहीं।

उत्तर और हल देखें

उत्तर: 64

हलस्वतुल्य संबंध में सभी 3 युग्म (a, a) होने चाहिए। बाकी 3² − 3 = 6 क्रमित युग्म शामिल हों या न हों: 2⁶ = 64।
आम गलती2⁹ = 512 सभी संबंध गिनता है, केवल स्वतुल्य नहीं।
सांख्यिकीआसान

प्रश्न 14. प्रथम 11 प्राकृत संख्याओं का प्रसरण क्या है?

  1. 9
  2. 10
  3. 11
  4. 12
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (B) 10

हल1, 2, …, n का प्रसरण (n² − 1)/12 होता है। n = 11 के लिए: (121 − 1)/12 = 10।
आम गलती(n + 1)/2 लगाना, जो माध्य है, प्रसरण नहीं।
द्विघात समीकरणमध्यमसंख्यात्मक

प्रश्न 15. यदि tan 30° और tan 15°, x² + px + q = 0 के मूल हैं, तो 2 + q − p का मान क्या है?

संख्यात्मक प्रश्न: उत्तर लिखना है, कोई विकल्प नहीं।

उत्तर और हल देखें

उत्तर: 3

हलtan 45° = (tan 30° + tan 15°)/(1 − tan 30° tan 15°) = 1। योग = −p और गुणनफल = q रखने पर: −p/(1 − q) = 1, अतः q − p = 1 और 2 + q − p = 3।
आम गलतीtan 15° का संख्यात्मक मान निकालने की कोशिश करना, जो धीमा और गलती-प्रवण है।
सम्मिश्र संख्याएँआसान

प्रश्न 16. (1 + i)⁸ का मान क्या है?

  1. 16
  2. −16
  3. 16i
  4. 8
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (A) 16

हल(1 + i)² = 2i। अतः (1 + i)⁸ = (2i)⁴ = 16 i⁴ = 16।
आम गलतीi⁴ = 1 भूलकर (2i)⁴ = 16i लिखना।
अनुक्रम और श्रेणीमध्यम

प्रश्न 17. गुणोत्तर श्रेढ़ी में तीन संख्याओं का गुणनफल 216 और योग 19 है। इनमें सबसे बड़ी संख्या क्या है?

  1. 8
  2. 9
  3. 12
  4. 18
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (B) 9

हलसंख्याएँ a/r, a, ar लें। गुणनफल a³ = 216, अतः a = 6। तब 6/r + 6 + 6r = 19 से 6r² − 13r + 6 = 0, r = 3/2 या 2/3। संख्याएँ 4, 6, 9 हैं, अतः सबसे बड़ी 9 है।
आम गलतीसंख्याएँ a, ar, ar² लेने से बीजगणित बहुत कठिन हो जाता है।
द्विपद प्रमेयआसान

प्रश्न 18. (1 − 2x)⁵ के प्रसार में गुणांकों का योग क्या है?

  1. −1
  2. 1
  3. 32
  4. −32
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (A) −1

हलगुणांकों का योग x = 1 पर मान है: (1 − 2)⁵ = (−1)⁵ = −1।
आम गलतीगुणांकों के निरपेक्ष मान जोड़कर 32 उत्तर देना।
क्रमचय और संचयमध्यम

प्रश्न 19. ARRANGE शब्द के अक्षरों को कितने प्रकार से व्यवस्थित किया जा सकता है कि दोनों R एक साथ न आएँ?

  1. 360
  2. 900
  3. 1260
  4. 540
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (B) 900

हलकुल व्यवस्थाएँ = 7!/(2! 2!) = 1260 (दो A, दो R)। दोनों R को एक खंड मानने पर: 6!/2! = 360। साथ न होने वाली = 1260 − 360 = 900।
आम गलतीयह भूलना कि दो A भी दोहराए गए हैं।
प्रायिकताआसान

प्रश्न 20. एक निष्पक्ष पासा 3 बार फेंका जाता है। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता क्या है?

  1. 1/2
  2. 91/216
  3. 125/216
  4. 1/6
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (B) 91/216

हलP(3 फेंकों में कोई छक्का नहीं) = (5/6)³ = 125/216। P(कम से कम एक छक्का) = 1 − 125/216 = 91/216।
आम गलती1/6 को तीन बार जोड़ने पर 1/2 आता है, जिसमें एक से अधिक छक्के वाले परिणाम दो बार गिने जाते हैं।
आव्यूह और सारणिकमध्यम

प्रश्न 21. पंक्तियों (1, a, a²), (1, b, b²), (1, c, c²) वाले सारणिक का मान क्या है?

  1. (a − b)(b − c)(c − a)
  2. (a + b)(b + c)(c + a)
  3. abc
  4. 0
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (A) (a − b)(b − c)(c − a)

हलयह वैंडरमॉण्ड सारणिक है। पंक्तियाँ घटाकर गुणनखंड करने पर (a − b)(b − c)(c − a) मिलता है। a, b, c में से कोई दो बराबर हों तो यह शून्य होता है, जैसा अपेक्षित है।
आम गलतीपहला स्तंभ पूरा 1 होने के कारण 0 उत्तर देना।
द्विघात समीकरणमध्यम

प्रश्न 22. समीकरण x² − 3|x| + 2 = 0 के कितने वास्तविक मूल हैं?

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 4
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (D) 4

हलक्योंकि x² = |x|², t = |x| रखें: t² − 3t + 2 = 0, अतः t = 1 या 2। हर एक से x के दो मान मिलते हैं: ±1 और ±2। कुल चार मूल।
आम गलतीसाधारण द्विघात की तरह हल करके केवल 1 और 2 पाना।
सम्मिश्र संख्याएँमध्यम

प्रश्न 23. यदि ω इकाई का एक अवास्तविक घनमूल है, तो (1 + ω − ω²)³ क्या है?

  1. −8
  2. 8
  3. 0
  4. 1
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (A) −8

हलक्योंकि 1 + ω + ω² = 0, अतः 1 + ω = −ω²। इसलिए 1 + ω − ω² = −2ω², और (−2ω²)³ = −8ω⁶ = −8।
आम गलती−2 का घन लेते समय ऋण चिह्न भूल जाना।
आव्यूह और सारणिकमध्यम

प्रश्न 24. यदि A वह 2 × 2 आव्यूह है जिसकी पंक्तियाँ (1, 2) और (3, 4) हैं, तो A² − 5A क्या है?

  1. 2I
  2. −2I
  3. I
  4. O (शून्य आव्यूह)
उत्तर और हल देखें

उत्तर: (A) 2I

हलकेली–हैमिल्टन प्रमेय से A अपने अभिलाक्षणिक समीकरण λ² − (अनुरेख)λ + सारणिक = 0 को संतुष्ट करता है, यानी A² − 5A − 2I = O। अतः A² − 5A = 2I।
आम गलतीसारणिक −2 की जगह +2 लेने पर −2I आता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

इस पेज पर बीजगणित के कौन-से अध्याय हैं?

इस पेज पर अनुक्रम और श्रेणी, आव्यूह और सारणिक, क्रमचय और संचय, द्विघात समीकरण, द्विपद प्रमेय, प्रायिकता, समुच्चय और संबंध, सम्मिश्र संख्याएँ, सांख्यिकी के प्रश्न हैं। प्रश्न JEE Main पैटर्न पर हैं, जिनमें बहुविकल्पीय और संख्यात्मक दोनों प्रकार हैं।

क्या ये JEE के पिछले वर्षों के प्रश्न हैं?

नहीं। ये नवीनतम पैटर्न पर लिखे गए मौलिक JEE Main स्तर के अभ्यास प्रश्न हैं, हर प्रश्न के हल और आम गलती के साथ।